Конструктивный метод решения некоторых классов гиперсингулярных интегральных уравнений второго рода - Халилов, Эльнур Гасан оглы (Вестник Томского государственного университета. Математика и механика)
Исследуются приближенные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений, полученных из внешней краевой задачи Неймана и внешней краевой задачи с импедансным условием для уравнения Гельмгольца в двумерном пространстве. Следует указать, что в этих гиперсингулярных интегральных уравнениях участвует оператор, порожденный нормальной производной потенциала двойного слоя. Построенный А.М. Ляпуновым контрпример показывает, что для потенциала двойного слоя с непрерывной плотностью нормальная производная, вообще говоря, не существует, т.е. оператор, порожденный нормальной производной потенциала двойного слоя, не определен в пространстве непрерывных функций. Применяя метод регуляризации, рассматриваемые гиперсингулярные интегральные уравнения внешней краевой задачи Неймана и внешней краевой задачи с импедансным условием для уравнения Гельмгольца приведены к слабосингулярным интегральным уравнениям. Построив квадратурные формулы для одного класса криволинейных интегралов, рассматриваемые интегральные уравнения мы заменяем системой алгебраических уравнений. Затем с использованием теоремы Г.М. Вайникко о сходимости для линейных операторных уравнений доказано, что полученные системы алгебраических уравнений разрешимы единственным образом и решения системы алгебраических уравнений сходятся к значению точного решения рассматриваемых гиперсингулярных интегральных уравнений в опорных точках. Указывается скорость сходимости метода.