Валидация поведения передатчика в канале частичного стирания в случае отсутствия абсолютно различимых символов - Казаков, Илья Борисович (Прикладная дискретная математика)
Работа принадлежит циклу работ, посвященных каналу частичного стирания, где были введены понятия структуры частичного стирания, канала частичного стирания, правильной функции и корректного протокола. Структура частичного стирания - это тройка, состоящая из алфавита A, семейства его разбиений и множества вероятностей, приписанных этим разбиениям. Символы a1, a2 ∈ A называются абсолютно различимыми в структуре частичного стирания, если не существует такого разбиения, что они принадлежат одному его классу. Канал частичного стирания функционирует следующим образом: Алиса посылает Бобу символ a∈A, но Боб узнает только, какое выбрано разбиение и какому классу принадлежит отправленный Алисой символ. Поведение передатчика в канале частичного стирания задается функцией F : S* → A*, где S - алфавит входной ленты, с которой передатчик считывает информацию. Функция F однозначно определяет детерминированную функцию F^ : S* → A*: для любого слова s^ ∈ S*, s^ = s1...sm, положим F^(s^) = F(Λ)F(s1)F(s1s2)...F(s1...sm), где Λ - пустое слово. Функция F^ может быть представлена в виде автомата с входным алфавитом S и выходным алфавитом A*. Автомат задается графом, вершины которого соответствуют состояниям, а ребра имеют две подписи: s ∈ S и α ∈ A*. Для существования корректного протокола, включающего в себя функцию F поведения передатчика, необходимо и достаточно принадлежности функции F к классу правильных. Функция является правильной тогда и только тогда, когда отсутствует аномалия 2-го рода, не являющаяся также и аномалией 1-го рода. Под аномалией 2-го рода понимается пара слов (s^1, s^2), такая, что |s^2| = |s^1| + 1, |F^(s^2)| ≤ |F^(s^1)|; под аномалией 1-го рода - пара слов (s^1. s^2), для которой найдtтся индекс i, что символы F^(s^1)[i] и F^(s^2)[i] абсолютно различимы в структуре частичного стирания. В важном частном случае отсутствия абсолютно различимых символов аномалии 1-го рода не могут существовать и условие правильности упрощается до отсутствия аномалий 2-го рода. Показано, что проверка отсутствия аномалий 2-го рода сводится к проверке отсутствия путей (начинающихся в выделенной вершине) отрицательного веса в автомат-квадратном графе, которая может быть выполнена с помощью алгоритма Беллмана - Форда. Общая сложность такой проверки составляет O(|Q|4|S|2) по времени и O(|Q|2|S|2 ln |Q| ln L ln |S|) по памяти, где |Q| - количество состояний автомата, представляющего функцию F^, и L - максимальная длина передаваемого Алисой слова.